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Teorema de Pitágoras

17 ago

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Abraços

Sandra Di Flora

Conta a História da Matemática que Pitágoras de Samos, o famoso matemático e filósofo grego, foi o primeiro a estabelecer uma relação simples entre os quadrados das medidas dos lados de um triângulo retângulo. Tal relação ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”.

O Teorema de Pitágoras é, provavelmente, o teorema mais conhecido do mundo e seu enunciado é o seguinte:

 

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

Antes de prosseguir, vamos recordar a definição de triângulo retângulo:

 

“Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando a medida de um dos seus ângulos é 900 (ângulo reto)”.

Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos.

 

a: medida da hipotenusa

b: medida de um dos catetos

c: medida do outro cateto

 

Para provar que num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é, que  a2 = b2 + c2  vamos recorrer às áreas de figuras planas e utilizar a demonstração que é conhecida como: “ demonstração do quadrado chinês”:

 

1. Construa dois quadrados com 10 cm de lado (figuras 2 e 3).

 

 

 

2. Pinte no quadrado da figura 2, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

3. Pinte no quadrado da figura 3, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

4. Observe que:

 

·   no quadrado da figura 4 foram obtidos dois outros quadrados: um de lado b (verde) e um de lado c (amarelo), cujas áreas são, respectivamente,b2  e  c2 .

 

 

 

·   no quadrado da figura 5 foi obtido um terceiro quadrado (azul) de lado a , cuja área é a2 .

 

 

 

5. Assim,a soma das áreas dos quadrados de lados b (verde) e c (amarelo) é igual a área do quadrado de lado a (azul).

 

Logo,  a2  = b2 + c2 , isto é:

 

“ O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

 

A seguir, apresento uma outra demonstração do Teorema de Pitágoras, também obtida a partir da decomposição do quadrado. Essa demonstração é atribuída a Bháskara, matemático hindu do século XII.

A gif animada foi pinçada da Wikipedia. Clique na imagem, aguarde alguns segundos e divirta-se!