Tangram no ENEM/2008

2 set

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Sandra Di Flora

Parece até que o “Matemática Mania” estava adivinhando!

Não é que na prova do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), realizada no último domingo (31), “caiu” uma questão envolvendo o quebra – cabeça chinês Tangram, que foi motivo de vários posts aqui neste blog?

Em 21 de julho de 2008, inclusive, apresentei o quebra – cabeça numa gif animada, comprovando que:

“todas as figuras geradas com as sete peças do Tangram possuem a mesma área”

Observe as transformações da gif:

Pois foi exatamente esse um dos objetivos de tal questão: verificar se o candidato tinha domínio da equivalência de áreas. E tem mais! A questão pode ser resolvida com a utilização do Teorema de Pitágoras, que também foi aqui mencionado e demonstrado.

Muito legal, não é mesmo? 

Aí está a questão da prova amarela do ENEM/2008:

 

Acompanhe a resolução dessa questão efetuada pela equipe de professores do Anglo Vestibulares, que pincei do portal de notícias G1:

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Número Primo

30 ago

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Sandra Di Flora

Na literatura sobre a História da Matemática atribui-se ao filósofo e matemático grego, Pitágoras – de novo, ele! – os primeiros estudos sobre os números primos.

A palavra “primo” não possui nenhuma relação com a idéia de parentesco como pensam alguns, mas sim com a idéia de “primário”.

Os pitagóricos denominavam números “primários” todos os números naturais que não podiam ser obtidos através do produto de outros números, como é o caso dos números naturais: 2, 3, 5, 7,… Já aqueles gerados a partir do produto de outros números eram denominados números “secundários”, como por exemplo: 4 = 2 x 2,  6 = 2 x 3, etc.

Atualmente, definimos número primo no conjunto dos números naturais da seguinte maneira:

 

Chama-se número primo todo número natural que possui exatamente dois divisores distintos: a unidade (1) e ele próprio.

 

Dessa forma, o número zero (0) não é um número primo (pois possui infinitos divisores) e o número um (1) também não, pois possui um único divisor.

Os números que não são primos – excetuando-se o 0 e o 1 – são denominados números compostos.

 

Eratóstenes, (276 a.C. – 194 a.C.), matemático, geógrafo e astrônomo grego criou um método simples e prático, para a obtenção de números primos até um determinado limite: o “Crivo de Eratóstenes”.

 

O método consiste no seguinte:

 

1. Listar os números naturais a partir do número 2 (primeiro número natural primo) até um certo valor limite:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, …

 

2. Retirar da lista todos os múltiplos do primeiro número primo (2), maiores que ele:

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …

 

3. Retirar da lista todos os múltiplos do próximo número primo (3), maiores que ele:

6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …

 

4. Retirar da lista todos os múltiplos do próximo número primo (5), maiores que ele:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …

 

5.Repetir o procedimento até o final da lista.

 

6. Os números que não foram retirados da lista formam a seqüência de números naturais primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

 

O “Crivo de Eratóstenes” pode ser trabalhado em sala de aula. Para isso, basta fornecer aos alunos uma lista organizada de números e solicitar que utilizem lápis de cor, para pintar os números a serem retirados da lista.

 

A gif animada, abaixo, foi pinçada da Wikipédia e apresenta o “Crivo de Eratóstenes” , conforme foi descrito acima. Acompanhe:

Jogando Confusebox

29 ago

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Sandra Di Flora

Eu adoro jogos de raciocínio lógico, mas confesso que vencer o “Confusebox” não é nada fácil. O legal é que cada vez que se entra nesse jogo, é preciso estudar novas estratégias para vencê-lo.

O objetivo do jogo é conectar todo o circuito para que todas as luzes se acendam.

Use o mouse para isso.

 

Para jogar, clique aqui.

 

Boa sorte!

ENEM/2006 – uma questão sobre o Teorema de Pitágoras

23 ago

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Sandra Di Flora

A questão a seguir foi cobrada na prova do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) em 2006 e envolve o Teorema de Pitágoras. O enunciado e a demonstração desse teorema foram assuntos do “Matemática Mania” em 17/08/2008 (post anterior). Fica aqui o convite para acessar o post sobre o tema antes de resolver a referida questão.

 

 

 

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8m

b) 1,9m

c) 2,0m

d) 2,1m

e) 2,2m

 

Resposta comentada

Renda per capita

22 ago

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Sandra Di Flora

Quem já não leu em jornais e revistas informações como estas?

 

Estudo do IBGE mostra que cresceu grupo de estados com renda per capita acima da média nacional”

(Agência Brasil, novembro/2006)

 

Brasil terá renda per capita de US$ 27,13 mil em 2050”

(Estadão.com.br, fevereiro/2007)

 

“Renda per capita dos trabalhadores urbanos da China cresce 18% no primeiro semestre”

(embchina.org.br, julho/2008)

 

Mas, poucas pessoas sabem que renda per capitaé a razãoentre o PIB (Produto Interno Bruto) e o número de habitantes de um país.

 

A grosso modo o Produto Interno Bruto (PIB) é o total de bens e de serviços produzidos por um país durante um ano. Assim, a renda per capita de um país equivale à quantia, em dólar, que cada habitante receberia caso o PIB fosse dividido igualmente entre toda a população.

No latim original per capita significa “por cabeça”, trata-se, portanto de uma renda por cabeça.

 

A razão que define a renda per capita é uma comparação entre grandezas de espécies diferentes: quantia em dólares por número de habitantes.

Utilize as informações contidas no texto acima e resolva o exercício 2 sobre “Razão e Proporção”.

 

Exercício 2:

Analise o quadro abaixo e, a seguir, responda às questões:

a) Calcule a renda per capita de cada um desses países.

b) Comparando a renda per capita dos países do item anterior, qual dos países é o mais rico?

c) O fato de a renda per capita de um país ser alta significa que todos os seus habitantes vivam bem?

 

Resposta comentada

Teorema de Pitágoras

17 ago

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Sandra Di Flora

Conta a História da Matemática que Pitágoras de Samos, o famoso matemático e filósofo grego, foi o primeiro a estabelecer uma relação simples entre os quadrados das medidas dos lados de um triângulo retângulo. Tal relação ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”.

O Teorema de Pitágoras é, provavelmente, o teorema mais conhecido do mundo e seu enunciado é o seguinte:

 

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

Antes de prosseguir, vamos recordar a definição de triângulo retângulo:

 

“Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando a medida de um dos seus ângulos é 900 (ângulo reto)”.

Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos.

 

a: medida da hipotenusa

b: medida de um dos catetos

c: medida do outro cateto

 

Para provar que num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é, que  a2 = b2 + c2  vamos recorrer às áreas de figuras planas e utilizar a demonstração que é conhecida como: “ demonstração do quadrado chinês”:

 

1. Construa dois quadrados com 10 cm de lado (figuras 2 e 3).

 

 

 

2. Pinte no quadrado da figura 2, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

3. Pinte no quadrado da figura 3, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

4. Observe que:

 

·   no quadrado da figura 4 foram obtidos dois outros quadrados: um de lado b (verde) e um de lado c (amarelo), cujas áreas são, respectivamente,b2  e  c2 .

 

 

 

·   no quadrado da figura 5 foi obtido um terceiro quadrado (azul) de lado a , cuja área é a2 .

 

 

 

5. Assim,a soma das áreas dos quadrados de lados b (verde) e c (amarelo) é igual a área do quadrado de lado a (azul).

 

Logo,  a2  = b2 + c2 , isto é:

 

“ O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

 

A seguir, apresento uma outra demonstração do Teorema de Pitágoras, também obtida a partir da decomposição do quadrado. Essa demonstração é atribuída a Bháskara, matemático hindu do século XII.

A gif animada foi pinçada da Wikipedia. Clique na imagem, aguarde alguns segundos e divirta-se!

 

As três irmãs

14 ago

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Sandra Di Flora

Você conhece aqueles problemas de raciocínio lógico, que envolvem verdades e mentiras?

Pois saiba, que nos vestibulares e concursos, de um modo geral, sempre aparece algum para tirar o sono dos candidatos.

O problema das “três irmãs” é o primeiro de uma série que, aos poucos, vou disponibilizar aqui no “Matemática Mania”.

Vamos começar?

Mas, não vale olhar a resposta comentada, antes de esgotar todas as tentativas para solucioná-lo!

 

Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira, preto.

Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas.

·   A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”;

·   A de branco disse: “Eu sou Maria”;

·   A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”.

Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa.

As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente:

 

(a) preto, branco, azul.

(b) preto, azul, branco.

(c) azul, preto, branco.

(d) azul, branco, preto.

(e) branco, azul, preto.

 

Resposta comentada

Triângulo de Pascal

10 ago

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Sandra Di Flora

Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b)  ou ( a + b )2.

É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:

 

“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”

 

isto é:

 

a2 + 2.a.b + b2

 

Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:

 

( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2.a.b + b2

 

Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:

Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a2  , a.b  e  b2 , ou seja: 1.a2 + 2.a.b + 1.b2.

 

O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )2 , outros produtos do tipo ( a + b )3 , ( a + b )4 e, assim por diante …

 

( a + b )3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3  ( quarta linha )

 

( a + b )4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4  ( quinta linha )

 

( a + b )5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5  ( sexta linha )

 

A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?

 

Simples:

·   em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;

·   a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;

·   a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;

·   o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;

·   o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;

·   a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

 

Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )5

 

1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5

 

Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:

 

1.a5 .b0 + 5.a4.b1 + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 1.a0.b5

 

·   em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a , b1= b)

·   expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0  (ordem decrescente)

·   expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5  (ordem crescente)

·   soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5  (expoente do binômio)

·   a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

 

Agora, responda às perguntas:

a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?

b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?

c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )6?

 

Resposta comentada

 

Clique aqui para obter informações sobre o matemático francês Blaise Pascal, que tornou o triângulo aritmético conhecido no mundo todo.

 

Número de Ouro

3 ago

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Sandra Di Flora

Várias são as versões a respeito do surgimento do número áureo. Uma delas afirma que esse número surgiu por acaso, quando o matemático grego Euclides (370 a.C. a 275 a.C.) tentava descobrir a melhor maneira de dividir um segmento de reta em dois segmentos não-congruentes, isto é, de medidas diferentes.

 

Depois de várias tentativas, Euclides encontrou uma divisão, que classificou como a mais harmônica:

 

Um segmento de reta AB foi dividido em duas partes AC e CB, de modo que:

(AB está para AC assim como AC está para CB – proporção áurea)

 

O valor encontrado para as razões:

 

é o número irracional 1,618033989…, que é usado, geralmente, com apenas três casas decimais : 1,618 (número áureo ou razão áurea).

Posteriormente atribuiu-se ao número áureo a letra grega Φ (fi) em homenagem a Fídias, o famoso arquiteto e escultor grego, que utilizava a razão áurea em suas obras.

 

No Paternon – sua obra mais célebre – a razão áurea aparece em destaque no retângulo, chamado de retângulo áureo, pois dividindo-se a medida do seu comprimento pela medida de sua largura encontra-se o número FI (Φ = 1,618).

Paternon – obra de Fídias

 

O número áureo pode ser obtido algebricamente.

Clique no link abaixo e acompanhe essa demonstração.

 

Demonstração

 

Tangram na decoração

2 ago

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Sandra Di Flora

O Tangram, além de sua utilização como material pedagógico, pode se transformar num prático elemento de decoração como as lindas estantes abaixo:

 

Daniele Lago,Itália

Designer: Daniele Lago,Itália

 

Sugestões excelentes para os habilidosos!