Archive | Razão e Proporção RSS feed for this section

Escala

29 dez

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Sandra Di Flora

Você sabia que o Colecionismo (prática que as pessoas têm de guardar, organizar, selecionar, trocar e expor diversos itens por categoria em função de seus interesses pessoais), além de ser uma forma salutar de entretenimento é também uma arte?

Pois saiba que milhões de pessoas colecionam os mais diversos objetos no mundo todo e que no Brasil, infelizmente, não se dá a devida importância a essa atividade.

Nesse momento você deve estar se perguntando: por que tratar desse assunto num blog de Matemática?

Acontece que as empresas que fabricam miniaturas – carrinhos, por exemplo –  utilizam a Escala para que as réplicas sejam perfeitas (há milhões de colecionadores de miniaturas de carrinhos no mundo).

 

E o que é Escala?

 

Escala é a razão constante entre qualquer medida do comprimento em um desenho (ou miniatura) e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho, ambas tomadas na mesma unidade de medida, ou seja, Escala é uma das aplicações da razão entre duas grandezas de mesma espécie (leia sobre razão aqui).

 

Em outras palavras:

escala-1a1 

Aí está a Matemática, ajudando as empresas a fabricar miniaturas com precisão!

 

Mas vamos ao que interessa.

 

Observe o anúncio de uma empresa que comercializa miniaturas de carros:

 

formula-1

 

Analisando as informações do anúncio, temos:

 

O comprimento da miniatura é 14 cm.

A escala em que a miniatura foi construída é 1:32 ou 1/32 (1 para 32).

 

Qual seria, então, o comprimento real da McLaren de L.Hamilton?

 

Chamando de x , o comprimento real da McLaren de L.Hamilton e aplicando a “fórmula” de Escala, temos:

ec2 

Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos:

escala3

 

Logo, o comprimento real da McLaren  é de 448 cm ou 4,48 m .

 

A escala 1:32 indica, ainda, que o comprimento da miniatura é 32 vezes menor que o comprimento da McLaren real.

 

Renda per capita

22 ago

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Sandra Di Flora

Quem já não leu em jornais e revistas informações como estas?

 

Estudo do IBGE mostra que cresceu grupo de estados com renda per capita acima da média nacional”

(Agência Brasil, novembro/2006)

 

Brasil terá renda per capita de US$ 27,13 mil em 2050”

(Estadão.com.br, fevereiro/2007)

 

“Renda per capita dos trabalhadores urbanos da China cresce 18% no primeiro semestre”

(embchina.org.br, julho/2008)

 

Mas, poucas pessoas sabem que renda per capitaé a razãoentre o PIB (Produto Interno Bruto) e o número de habitantes de um país.

 

A grosso modo o Produto Interno Bruto (PIB) é o total de bens e de serviços produzidos por um país durante um ano. Assim, a renda per capita de um país equivale à quantia, em dólar, que cada habitante receberia caso o PIB fosse dividido igualmente entre toda a população.

No latim original per capita significa “por cabeça”, trata-se, portanto de uma renda por cabeça.

 

A razão que define a renda per capita é uma comparação entre grandezas de espécies diferentes: quantia em dólares por número de habitantes.

Utilize as informações contidas no texto acima e resolva o exercício 2 sobre “Razão e Proporção”.

 

Exercício 2:

Analise o quadro abaixo e, a seguir, responda às questões:

a) Calcule a renda per capita de cada um desses países.

b) Comparando a renda per capita dos países do item anterior, qual dos países é o mais rico?

c) O fato de a renda per capita de um país ser alta significa que todos os seus habitantes vivam bem?

 

Resposta comentada

Número de Ouro

3 ago

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Sandra Di Flora

Várias são as versões a respeito do surgimento do número áureo. Uma delas afirma que esse número surgiu por acaso, quando o matemático grego Euclides (370 a.C. a 275 a.C.) tentava descobrir a melhor maneira de dividir um segmento de reta em dois segmentos não-congruentes, isto é, de medidas diferentes.

 

Depois de várias tentativas, Euclides encontrou uma divisão, que classificou como a mais harmônica:

 

Um segmento de reta AB foi dividido em duas partes AC e CB, de modo que:

(AB está para AC assim como AC está para CB – proporção áurea)

 

O valor encontrado para as razões:

 

é o número irracional 1,618033989…, que é usado, geralmente, com apenas três casas decimais : 1,618 (número áureo ou razão áurea).

Posteriormente atribuiu-se ao número áureo a letra grega Φ (fi) em homenagem a Fídias, o famoso arquiteto e escultor grego, que utilizava a razão áurea em suas obras.

 

No Paternon – sua obra mais célebre – a razão áurea aparece em destaque no retângulo, chamado de retângulo áureo, pois dividindo-se a medida do seu comprimento pela medida de sua largura encontra-se o número FI (Φ = 1,618).

Paternon – obra de Fídias

 

O número áureo pode ser obtido algebricamente.

Clique no link abaixo e acompanhe essa demonstração.

 

Demonstração

 

Razão e proporção no dia-a-dia

29 jul

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Sandra Di Flora

Uma das maneiras mais eficientes de se ensinar razão e proporção é aplicar os seus conceitos em situações do nosso cotidiano, como no exercício a seguir.

Este é o primeiro de uma série de exercícios que pretendo inserir neste blog sobre o assunto “Razão e Proporção”.

Resolva o exercício proposto e, depois, clique em “Resposta Comentada”, para fazer a correção do mesmo.

Exercício 1:

O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:

 

 

Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:

a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?

b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?

c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?

d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?

e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?

f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?

Resposta Comentada

A imagem e os dados do gráfico acima foram obtidos em: www.viverbem.fmb.unesp.br

 

A diferença entre razão e fração

25 jul

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Sandra Di Flora

 

 

Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.

 

Exemplificando:

 

Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.

Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2.

Mas, como se chegou à razão  “ 5 para 2”?

A tabelinha abaixo pode nos ajudar: 

Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina.

As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19.

 

Assim: 950/380 = 5/2  (razão 5 para 2 )

 

A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.

Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções:

 

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Isto é: 950 x 2 = 380 x 5

 

E a fração, como é que fica nessa historinha?

Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números.

 

Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos.

A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.

Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos.

Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2

 

Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:

 

Fração é uma divisão entre dois números

Razão é uma comparação entre duas grandezas

Proporção é a igualdade entre duas razões

 

O número FI

1 maio

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Sandra Di Flora

A razão áurea é um dos assuntos – em Matemática – que mais me chama a atenção. Sempre que tenho oportunidade pesquiso, na rede, artigos ou curiosidades sobre o assunto. O texto e a imagem abaixo, por exemplo, foram retirados da revista Veja-out/2006, da qual sou assinante.

A matéria do referido semanário  é, na verdade, a divulgação do livro do astrofísico israelense Mario Livio “Razão Áurea”, da editora Record.

Pretendo postar outras informações a respeito da razão áurea, sem a preocupação de ordenar ou classificar por ordem de importância, mas de acordo com as minhas descobertas.

Boa leitura!

(…)A Matemática não se resume a propriedades, fórmulas e regras. Existem alguns números especiais que são tão onipresentes, que nunca deixam de nos surpreender. O mais famoso deles é o número Pi (π), que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro.

O valor de Pi, 3,14159…, tem fascinado muitas gerações de matemáticos. Embora tenha sido originalmente definido na geometria, o Pi aparece muito freqüente e inesperadamente no cálculo de probabilidades.

Menos conhecido que o Pi é um outro número, o Fi (Φ), que, em muitos aspectos, é ainda mais fascinante. Suponha que eu lhe pergunte: o que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro “O Sacramento da Última Ceia”, de Salvador Dalí, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum?

É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum certo número, ou proporção geométrica, conhecido desde a Antiguidade, um número que no século XIX recebeu o título honorífico de “Número Áureo”, “Razão Áurea” e “Seção Áurea”. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de “Proporção Divina”.O valor exato da Razão Áurea é o número que nunca termina e nunca se repete 1,6180339887…, e esses números que nunca terminam têm intrigado os homens desde a Antiguidade.

Diz uma história que quando o matemático grego Hipasos de Metaponto descobriu, no século V a.C., que a Razão Áurea é um número que não é nem inteiro (como os familiares 1, 2, 3…) nem razão de dois números inteiros como as frações 1/2, 2/3, 3/4,…, (conhecidos coletivamente como números racionais),isso deixou totalmente chocados os outros seguidores do famoso matemático Pitágoras (os pitagóricos).
A visão de mundo dos pitagóricos era baseada numa admiração extrema pelos arithmos — as propriedades intrínsecas dos números inteiros ou suas razões — e seu suposto papel no Cosmo. A descoberta de que existiam números como a Razão Áurea que continuam para sempre sem exibir qualquer repetição ou padrão causou uma verdadeira crise filosófica.

Reza a lenda que, aturdidos com a estupenda descoberta, os pitagóricos sacrificaram, apavorados, cem bois, embora isso pareça ser bastante improvável, já que os pitagóricos eram estritamente vegetarianos. A data exata da descoberta de números que não são inteiros nem frações, conhecidos como números irracionais, não é conhecida com grau algum de certeza.

O que é claro é que os pitagóricos basicamente acreditavam que a existência de tais números era tão horrível que devia (a existência) representar algum tipo de erro cósmico, algo que deveria ser suprimido e guardado em segredo.
Mas por que tanto alvoroço em torno disso? O que faz desse número, ou proporção geométrica, algo tão interessante que deva merecer toda essa atenção?
A atratividade do “Número Áureo” origina-se, antes de tudo, do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.(…)