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A Matemática e a Música

7 mar

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Sandra Di Flora

Você sabia que a Matemática foi fundamental para o desenvolvimento da escala musical, da teoria musical e até dos instrumentos musicais? Confira no vídeo abaixo:

Poesia Matemática

27 jan

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Sandra Di Flora

Millôr Fernandes é um conhecido escritor brasileiro e colunista da revista Veja.

Em 1949 escreveu “Poesia Matemática”, uma obra-prima. Mas, num de seus versos há um erro de definição o que, evidentemente, não tira o brilho da sua obra.

 

O texto a seguir é um fragmento da poesia de Millôr, que pode ser lida, na íntegra, no site do escritor: Millôr Online 

 

Poesia Matemática

 

Às folhas tantas

do livro matemático

um Quociente apaixonou-se

um dia

doidamente

por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável

e viu-a, do Ápice à Base,

uma figura ímpar:

olhos rombóides, boca trapezóide,

corpo octogonal, seios esferóides.

Fez da sua uma vida

paralela à dela

até que se encontraram

no infinito.

“Quem és tu?”, indagou ele

em ânsia radical.

“Sou a soma dos quadrados dos catetos.

Mas pode me chamar de Hipotenusa.”

 

 

O Matemática Mania propõe que você identifique em que parte do texto está o erro. Uma dica: o assunto já foi divulgado aqui no blog.

 

Se preferir, insira a sua resposta na área de comentários deste post.

Teste a sua mente

13 jan

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Akinator – um gênio que usa a lógica

7 dez

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Sandra Di Flora


akinator

da Folha de São Paulo (22/11/2008)

 

Akinator, um “gênio da web”, saiu da garrafa em território nacional. Trata-se de uma brincadeira. O internauta pensa em um personagem – vivo, morto, ficcional, familiar – e responde a cerca de 15 perguntas. São cinco alternativas de resposta.

No fim, o gênio Akinator, baseado na lógica, tenta apontar em quem a pessoa pensou. Na maior parte das vezes, a julgar pelos testes da Folha e pela lista que o site apresenta com as últimas partidas, Akinator acerta.

A reportagem da Folha jogou mais de 15 vezes e o gênio errou apenas duas vezes. Entre os acertos, estavam personagens bem diferentes, como Santos Dumont, Saci-Pererê, Mario (do videogame) e a atriz sul-africana Charlize Theron. As tentativas frustradas foram o guerreiro indígena Sepé Tiaraju e a cantora Cat Power.

Os brasileiros, em massa, começaram a se interessar há cerca de 15 dias pelo site, de acordo com o Google Trends, que mostra padrões de busca na rede.

Outra mostra da forte presença dos internautas do país no site é a lista de pessoas mais citadas no jogo. Na semana que terminou na última sexta-feira, estavam entre os dez primeiros Xuxa, Sílvio Santos, o presidente brasileiro e a apresentadora-mirim Maísa.

 

Para acessar o site do gênio Akinator, clique em:

www.akinator.com

Número Primo

30 ago

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Sandra Di Flora

Na literatura sobre a História da Matemática atribui-se ao filósofo e matemático grego, Pitágoras – de novo, ele! – os primeiros estudos sobre os números primos.

A palavra “primo” não possui nenhuma relação com a idéia de parentesco como pensam alguns, mas sim com a idéia de “primário”.

Os pitagóricos denominavam números “primários” todos os números naturais que não podiam ser obtidos através do produto de outros números, como é o caso dos números naturais: 2, 3, 5, 7,… Já aqueles gerados a partir do produto de outros números eram denominados números “secundários”, como por exemplo: 4 = 2 x 2,  6 = 2 x 3, etc.

Atualmente, definimos número primo no conjunto dos números naturais da seguinte maneira:

 

Chama-se número primo todo número natural que possui exatamente dois divisores distintos: a unidade (1) e ele próprio.

 

Dessa forma, o número zero (0) não é um número primo (pois possui infinitos divisores) e o número um (1) também não, pois possui um único divisor.

Os números que não são primos – excetuando-se o 0 e o 1 – são denominados números compostos.

 

Eratóstenes, (276 a.C. – 194 a.C.), matemático, geógrafo e astrônomo grego criou um método simples e prático, para a obtenção de números primos até um determinado limite: o “Crivo de Eratóstenes”.

 

O método consiste no seguinte:

 

1. Listar os números naturais a partir do número 2 (primeiro número natural primo) até um certo valor limite:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, …

 

2. Retirar da lista todos os múltiplos do primeiro número primo (2), maiores que ele:

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …

 

3. Retirar da lista todos os múltiplos do próximo número primo (3), maiores que ele:

6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …

 

4. Retirar da lista todos os múltiplos do próximo número primo (5), maiores que ele:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …

 

5.Repetir o procedimento até o final da lista.

 

6. Os números que não foram retirados da lista formam a seqüência de números naturais primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

 

O “Crivo de Eratóstenes” pode ser trabalhado em sala de aula. Para isso, basta fornecer aos alunos uma lista organizada de números e solicitar que utilizem lápis de cor, para pintar os números a serem retirados da lista.

 

A gif animada, abaixo, foi pinçada da Wikipédia e apresenta o “Crivo de Eratóstenes” , conforme foi descrito acima. Acompanhe:

Triângulo de Pascal

10 ago

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Sandra Di Flora

Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b)  ou ( a + b )2.

É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:

 

“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”

 

isto é:

 

a2 + 2.a.b + b2

 

Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:

 

( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2.a.b + b2

 

Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:

Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a2  , a.b  e  b2 , ou seja: 1.a2 + 2.a.b + 1.b2.

 

O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )2 , outros produtos do tipo ( a + b )3 , ( a + b )4 e, assim por diante …

 

( a + b )3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3  ( quarta linha )

 

( a + b )4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4  ( quinta linha )

 

( a + b )5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5  ( sexta linha )

 

A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?

 

Simples:

·   em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;

·   a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;

·   a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;

·   o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;

·   o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;

·   a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

 

Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )5

 

1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5

 

Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:

 

1.a5 .b0 + 5.a4.b1 + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 1.a0.b5

 

·   em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a , b1= b)

·   expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0  (ordem decrescente)

·   expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5  (ordem crescente)

·   soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5  (expoente do binômio)

·   a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

 

Agora, responda às perguntas:

a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?

b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?

c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )6?

 

Resposta comentada

 

Clique aqui para obter informações sobre o matemático francês Blaise Pascal, que tornou o triângulo aritmético conhecido no mundo todo.

 

Tangram na decoração

2 ago

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Sandra Di Flora

O Tangram, além de sua utilização como material pedagógico, pode se transformar num prático elemento de decoração como as lindas estantes abaixo:

 

Daniele Lago,Itália

Designer: Daniele Lago,Itália

 

Sugestões excelentes para os habilidosos!

Uma data histórica: 20/02/2002

24 jul

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Sandra Di Flora

Segundo os dicionários, “palíndromos” são palavras ou sentenças que lidas da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, têm o mesmo sentido, do tipo: “ROMA ME TEM AMOR”.

A coincidência aparece também nos números – 9779 -, embora essa curiosidade não possua nenhum sentido ou valor para os matemáticos.

O dia 20 de fevereiro de 2002 foi considerado uma data histórica para os “palindromistas”. Nesse dia, ocorreu, durante um minuto, um evento que só aconteceu uma vez há mais de mil anos: durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio. Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02, 20/02/2002.É um registro com perfeita simetria numérica.

A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11:11, 11/11/1111. A próxima data em que aparecerá um palíndromo ou capicua, como é conhecido em Portugal, e com o mesmo rigor das anteriores será às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21:12, 21/12/2112). Depois disso, nunca mais haverá outra capicua, pois em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Enquanto isso, você pode despertar a curiosidade dos alunos desprezando as horas e pesquisando datas “palíndromas” que teriam ocorrido e que provavelmente ocorrerão no futuro como o 30 de março de 3003.

Como construir um Tangram

23 jul

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Sandra Di Flora

1. Desenhe um quadrado com 10 cm de lado.

 

2. Trace uma das diagonais do quadrado e o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados consecutivos do quadrado; este segmento deve ser paralelo à diagonal que acabou de ser traçada.

3. Desenhe a outra diagonal do quadrado até à segunda linha.
4. Trace o segmento de reta conforme a figura. Observe que este segmento é paralelo a dois lados do quadrado.

 

5. Trace o segmento de reta conforme a figura. Observe que este segmento é paralelo a uma das diagonais do quadrado.

6. Cole o Tangram numa cartolina ou papel cartão e recorte as 7 peças. Se preferir, antes de recortar,pinte as peças com cores diferentes.

 Ficou lindo,não?

 

Agora, um presentinho especial deste blog: um Tangram prontinho para você imprimir.Clique na imagem para ampliá-la e bom divertimento!

 

 

 

 

 

Tangram

21 jul

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Sandra Di Flora

O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado de sete peças: um quadrado, um paralelogramo, dois triângulos isósceles congruentes maiores, dois triângulos menores também isósceles e congruentes e um triângulo isósceles médio. As sete peças formam um quadrado.

Dentre as várias versões a respeito da origem desse famoso quebra-cabeça, a mais interessante é a de que o Tangram surgiu quando um monge chinês deixou cair no chão uma porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços, daí a origem do seu nome :Tch’ ia’ Pan , cujo significado é “tábua das sete sabedorias”.

O Tangram é extremamente eficiente para o desenvolvimento do raciocínio lógico e geométrico, principalmente no que se refere às relações espaciais.

Com as peças do Tangram pode-se, dentre outras possibilidades, explorar:

– a identificação, comparação, descrição, classificação e representação de figuras geométricas planas;

– as transformações geométricas, através de composição e decomposição de figuras planas;

– a equivalência de áreas;

– a aplicação do Teorema de Pitágoras.

Além disso, com as sete peças desse quebra-cabeça é possível montar cerca de 1700 figuras dentre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números e outros, tornando-o um material pedagógico bastante atraente.

Para conhecer melhor o Tangram e explorar algumas de suas possibilidades, clique no link a seguir e bom divertimento !

http://www.fwend.com/tangram.htm