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Número Primo

30 ago

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Abraços

Sandra Di Flora

Na literatura sobre a História da Matemática atribui-se ao filósofo e matemático grego, Pitágoras – de novo, ele! – os primeiros estudos sobre os números primos.

A palavra “primo” não possui nenhuma relação com a idéia de parentesco como pensam alguns, mas sim com a idéia de “primário”.

Os pitagóricos denominavam números “primários” todos os números naturais que não podiam ser obtidos através do produto de outros números, como é o caso dos números naturais: 2, 3, 5, 7,… Já aqueles gerados a partir do produto de outros números eram denominados números “secundários”, como por exemplo: 4 = 2 x 2,  6 = 2 x 3, etc.

Atualmente, definimos número primo no conjunto dos números naturais da seguinte maneira:

 

Chama-se número primo todo número natural que possui exatamente dois divisores distintos: a unidade (1) e ele próprio.

 

Dessa forma, o número zero (0) não é um número primo (pois possui infinitos divisores) e o número um (1) também não, pois possui um único divisor.

Os números que não são primos – excetuando-se o 0 e o 1 – são denominados números compostos.

 

Eratóstenes, (276 a.C. – 194 a.C.), matemático, geógrafo e astrônomo grego criou um método simples e prático, para a obtenção de números primos até um determinado limite: o “Crivo de Eratóstenes”.

 

O método consiste no seguinte:

 

1. Listar os números naturais a partir do número 2 (primeiro número natural primo) até um certo valor limite:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, …

 

2. Retirar da lista todos os múltiplos do primeiro número primo (2), maiores que ele:

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …

 

3. Retirar da lista todos os múltiplos do próximo número primo (3), maiores que ele:

6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …

 

4. Retirar da lista todos os múltiplos do próximo número primo (5), maiores que ele:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …

 

5.Repetir o procedimento até o final da lista.

 

6. Os números que não foram retirados da lista formam a seqüência de números naturais primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

 

O “Crivo de Eratóstenes” pode ser trabalhado em sala de aula. Para isso, basta fornecer aos alunos uma lista organizada de números e solicitar que utilizem lápis de cor, para pintar os números a serem retirados da lista.

 

A gif animada, abaixo, foi pinçada da Wikipédia e apresenta o “Crivo de Eratóstenes” , conforme foi descrito acima. Acompanhe:

Teorema de Pitágoras

17 ago

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Abraços

Sandra Di Flora

Conta a História da Matemática que Pitágoras de Samos, o famoso matemático e filósofo grego, foi o primeiro a estabelecer uma relação simples entre os quadrados das medidas dos lados de um triângulo retângulo. Tal relação ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”.

O Teorema de Pitágoras é, provavelmente, o teorema mais conhecido do mundo e seu enunciado é o seguinte:

 

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

Antes de prosseguir, vamos recordar a definição de triângulo retângulo:

 

“Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando a medida de um dos seus ângulos é 900 (ângulo reto)”.

Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos.

 

a: medida da hipotenusa

b: medida de um dos catetos

c: medida do outro cateto

 

Para provar que num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é, que  a2 = b2 + c2  vamos recorrer às áreas de figuras planas e utilizar a demonstração que é conhecida como: “ demonstração do quadrado chinês”:

 

1. Construa dois quadrados com 10 cm de lado (figuras 2 e 3).

 

 

 

2. Pinte no quadrado da figura 2, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

3. Pinte no quadrado da figura 3, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

4. Observe que:

 

·   no quadrado da figura 4 foram obtidos dois outros quadrados: um de lado b (verde) e um de lado c (amarelo), cujas áreas são, respectivamente,b2  e  c2 .

 

 

 

·   no quadrado da figura 5 foi obtido um terceiro quadrado (azul) de lado a , cuja área é a2 .

 

 

 

5. Assim,a soma das áreas dos quadrados de lados b (verde) e c (amarelo) é igual a área do quadrado de lado a (azul).

 

Logo,  a2  = b2 + c2 , isto é:

 

“ O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

 

A seguir, apresento uma outra demonstração do Teorema de Pitágoras, também obtida a partir da decomposição do quadrado. Essa demonstração é atribuída a Bháskara, matemático hindu do século XII.

A gif animada foi pinçada da Wikipedia. Clique na imagem, aguarde alguns segundos e divirta-se!

 

Como construir um Tangram

23 jul

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Abraços

Sandra Di Flora

1. Desenhe um quadrado com 10 cm de lado.

 

2. Trace uma das diagonais do quadrado e o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados consecutivos do quadrado; este segmento deve ser paralelo à diagonal que acabou de ser traçada.

3. Desenhe a outra diagonal do quadrado até à segunda linha.
4. Trace o segmento de reta conforme a figura. Observe que este segmento é paralelo a dois lados do quadrado.

 

5. Trace o segmento de reta conforme a figura. Observe que este segmento é paralelo a uma das diagonais do quadrado.

6. Cole o Tangram numa cartolina ou papel cartão e recorte as 7 peças. Se preferir, antes de recortar,pinte as peças com cores diferentes.

 Ficou lindo,não?

 

Agora, um presentinho especial deste blog: um Tangram prontinho para você imprimir.Clique na imagem para ampliá-la e bom divertimento!