A Matemática e a Música

Você sabia que a Matemática foi fundamental para o desenvolvimento da escala musical, da teoria musical e até dos instrumentos musicais? Confira no vídeo abaixo:

 

 

Tangram no ENEM/2008

Parece até que o “Matemática Mania” estava adivinhando!

Não é que na prova do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), realizada no último domingo (31), “caiu” uma questão envolvendo o quebra – cabeça chinês Tangram, que foi motivo de vários posts aqui neste blog?

Em 21 de julho de 2008, inclusive, apresentei o quebra – cabeça numa gif animada, comprovando que:

“todas as figuras geradas com as sete peças do Tangram possuem a mesma área”

Observe as transformações da gif:

Pois foi exatamente esse um dos objetivos de tal questão: verificar se o candidato tinha domínio da equivalência de áreas. E tem mais! A questão pode ser resolvida com a utilização do Teorema de Pitágoras, que também foi aqui mencionado e demonstrado.

Muito legal, não é mesmo? 

Aí está a questão da prova amarela do ENEM/2008: 

 

Acompanhe a resolução dessa questão efetuada pela equipe de professores do Anglo Vestibulares, que pincei do portal de notícias G1:

ENEM/2006 – uma questão sobre o Teorema de Pitágoras

A questão a seguir foi cobrada na prova do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) em 2006 e envolve o Teorema de Pitágoras. O enunciado e a demonstração desse teorema foram assuntos do “Matemática Mania” em 17/08/2008 (post anterior). Fica aqui o convite para acessar o post sobre o tema antes de resolver a referida questão.

 

 

 

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8m

b) 1,9m

c) 2,0m

d) 2,1m

e) 2,2m

 

Resposta comentada

 

Teorema de Pitágoras

Conta a História da Matemática que Pitágoras de Samos, o famoso matemático e filósofo grego, foi o primeiro a estabelecer uma relação simples entre os quadrados das medidas dos lados de um triângulo retângulo. Tal relação ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”.

O Teorema de Pitágoras é, provavelmente, o teorema mais conhecido do mundo e seu enunciado é o seguinte:

 

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

Antes de prosseguir, vamos recordar a definição de triângulo retângulo:

 

“Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando a medida de um dos seus ângulos é 90⁰ (ângulo reto)”.

Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos.

 

a: medida da hipotenusa

b: medida de um dos catetos

c: medida do outro cateto

 

Para provar que num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é, que  a² = b² + c²  vamos recorrer às áreas de figuras planas e utilizar a demonstração que é conhecida como: “ demonstração do quadrado chinês”:

 

1. Construa dois quadrados com 10 cm de lado (figuras 2 e 3).

 

 

 

2. Pinte no quadrado da figura 2, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

3. Pinte no quadrado da figura 3, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

 

 

 

4. Observe que:

 

·   no quadrado da figura 4 foram obtidos dois outros quadrados: um de lado b (verde) e um de lado c (amarelo), cujas áreas são, respectivamente, b²  e  c² .

 

 

 

·   no quadrado da figura 5 foi obtido um terceiro quadrado (azul) de lado a , cuja área é a² .

 

 

 

5. Assim, a soma das áreas dos quadrados de lados b (verde) e c (amarelo) é igual a área do quadrado de lado a (azul).

 

Logo,  a²  = b² + c² , isto é:

 

“ O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

 

 

A seguir, apresento uma outra demonstração do Teorema de Pitágoras, também obtida a partir da decomposição do quadrado. Essa demonstração é atribuída a Bháskara, matemático hindu do século XII.

A gif animada foi pinçada da Wikipedia. Clique na imagem, aguarde alguns segundos e divirta-se!